GUIA DIDÁCTICA TEORIA DE NUMEROS
AREA: MATEMÁTICAS
CAMINAR EN SECUNDARIA
Docente: Mag. Erika Patricia Capera Bonilla
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
LOS
MÚLTIPLOS de un número
natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por
otros números naturales. Decimos que un número es múltiplo de otro si lo
contiene un número entero de veces.
Ejemplos:
M6
= {6,12,18,24,30,36, 42,…}
M11
= {11,22,33,44,55,66,77, 88,…}
LOS
DIVISORES de un número
natural son los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente
otro número natural y de resto 0. En otras palabras, son aquellos números que
al dividir el residuo sea cero. (Para obtener los divisores de un número es
importante tener claro los criterios de divisibilidad).
Ejemplos:
D36
= {1,2,3,4,6,9,12.18,36}
D18
= {1,2, 3 ,6, 9, 18}
NOTA: Los números se pueden clasificar según la
cantidad de divisores que tengan, así:
·
Un
numero es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo
·
Un
numero es compuesto si tiene más de dos divisores
·
El
numero 1 no es primo ni compuesto porque únicamente tiene un divisor
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Que
un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que
la división es exacta. Ver si un número es divisible entre otro cuando los
números son pequeños es relativamente sencillo. Sin embargo, cuando tenemos
números más grandes resulta algo más complicado.
Para
facilitar esta labor surgen los criterios o reglas de divisibilidad. Los
criterios de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un
número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.
Son
de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los
divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer
números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto,
para simplificar fracciones, etc.
A
continuación, veremos los criterios de divisibilidad más utilizados:
Criterio de divisibilidad del 2: Un número es divisible entre 2 si termina en
una cifra par (0, 2, 4, 6, 8), es decir, si el número es par.
Por
ejemplo:
234 es
divisible entre 2, porque termina en 4.
2758 es
divisible entre 2, porque termina en 8.
47 no es
divisible entre 2, porque termina en 7, que no es
par (no es 0, 2, 4, 6 ni 8)
Criterio de divisibilidad del 3: Un número es divisible entre 3 si la suma de
sus cifras es un múltiplo de 3.
Por ejemplo:
45
es divisible entre 3, porque 4+5=9, y 9 es múltiplo de 3 (9=3·3).
35472
es divisible entre 3, porque 3+5+4+7+2=21, y 21 es múltiplo de 3 (21=3·7).
5408
no es divisible entre 3, porque 5+4+0+8=17, y 17 no es múltiplo de 3
Criterio de divisibilidad del 4: Un
número es divisible entre 4 si el número formado por las dos últimas cifras es
un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero.
Por
ejemplo:
8100 es
divisible entre 4, porque termina en 00.
23824 es
divisible entre 4, porque termina en 24,
que es múltiplo de 4 (24=4·6).
632 es
divisible entre 4, porque termina en 32,
que es múltiplo de 4 (32=4·8)
3615 no es
divisible entre 4, porque termina en 15,
que no es múltiplo de 4.
Criterio de divisibilidad del 5: Un
número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.
Por ejemplo:
325 es
divisible entre 5, porque termina en 5.
23670 es
divisible entre 5, porque termina en 0.
564 no es
divisible entre 5, porque no termina ni en 0 ni en 5
Criterio de divisibilidad del 6: Un
número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3 a la vez, es
decir, cuando es par y divisible entre 3.
Por ejemplo:
162 es divisible entre 6, porque es divisible entre 2
(termina en 2, que es una cifra par) y entre 3 (1+6+2=9, que es múltiplo de 3).
318 es divisible entre 6, porque es divisible entre 2
(termina en 8, que es una cifra par) y entre 3 (3+1+8=12, que es múltiplo de 3)
Criterio de divisibilidad del 7: Un
número es divisible entre 7 si, al restar al número sin la cifra de las unidades
el doble de la cifra de las unidades, el resultado es un múltiplo de 7 (eso
incluye al 0 también).
Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 7,
podemos repetir el proceso con dicho número.
Por ejemplo:
¿Es divisible 161 entre 7?
Restamos al número sin la cifra de las unidades (16)
el doble de la cifra de las unidades (2·1):
16-2·1=14
Como 14 es múltiplo de 7 (14=7·2), podemos concluir
que 161 es divisible entre 7.
¿Es divisible 5215 entre 7?
Restamos al número sin la cifra de las unidades (521)
el doble de la cifra de las unidades (2·5):
521-2·5=521-10=511
Como no tenemos claro si 511 es múltiplo de 7 (es lo
mismo que decir que sea divisible entre 7), repetimos el procedimiento, ahora
con 511:
51-2·1=51-2=49
Como 49 es múltiplo de 7 (49=7·7), podemos concluir
que 5215 es divisible entre 7.
Criterio de divisibilidad del 8: Un número es
divisible entre 8 si sus últimas tres cifras forman un múltiplo de 8 o son
ceros.
Por ejemplo:
2808
es divisible entre 8, porque 808 es múltiplo de 8 (808=8·101).
34000
es divisible entre 8, porque sus últimas tres cifras son 000
105
no es divisible entre 8, porque sus últimas tres cifras no forman un múltiplo
de 8.
Criterio de divisibilidad del 9: Un número es
divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Por ejemplo:
1845 es divisible entre 9, porque 1+8+4+5=18, y 18 es
múltiplo de 9 (18=9·2).
39744 es divisible entre 3, porque 3+7+4+4=18 (el 9
no lo hemos sumado), y 18 es múltiplo de 9 (18=9·2).
5408 no es divisible entre 9, porque 5+4+0+8=17, y 17
no es múltiplo de 9.
Criterio de divisibilidad del 10: Un número es
divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo:
340 es
divisible entre 10, porque termina en 0.
23480 es divisible entre 10, porque termina
en 0.
239 no
es divisible entre 10, porque no termina en 0.
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
Desarrollar el siguiente taller en tu
cuaderno, escribiendo las respectivas preguntas y respuestas, con letra legible
y bien presentado.
FECHA MÁXIMA DE ENTREGA: VIERNES 8 DE MAYO
12:00 P.M.
NOTA: Tomar fotos al trabajo realizado en
sus cuadernos, organizarlas en un documento Word, nombrar el archivo con nombre
completo y grado, finalmente subir el documento a Classroom o en su defecto enviarlo
por WhatsApp.
1.
Leer y
analizar detenidamente la guía didáctica “Teoría de Números”.
2.
Definir:
·
Qué
son los múltiplos de un numero natural
·
Qué
son los divisores de un numero natural
·
Qué es
un número primo
·
Qué es
un número compuesto
3.
Hallar
los primeros diez múltiplos de los siguientes números: 12, 8, 15, 30, 7
4.
Hallar
los divisores de los siguientes números: 40, 19, 58, 26, 65
5.
Realiza
un cuadro comparativo con los criterios de divisibilidad. Escribir un ejemplo
por cada criterio
6.
Marque
con una X el criterio de divisibilidad que le corresponden a cada número.
7.
¿Encontrar un número de 4 cifras que es divisible por 2, por 3 y por 4,
simultáneamente?
8.
En el número de cuatro cifras 293
, ¿Qué
valores debe tener la cifra c para que el número sea divisible por 3?
9.
En una clase de 24 alumnos forman equipos para hacer trabajos. ¿De cuántos
participantes se pueden hacer los equipos, si estos deben estar formados por el
mismo número de alumnos?
10.
Marcos y Manuel tienen gallinas y cada día recogen una cantidad de huevos que
es menor de 30 huevos al día. Si los agrupan en grupos de 2 huevos o de 5
huevos no le sobra ninguno, pero si los ponen en grupos de 3 les sobra uno.
¿Cuántos huevos ponen las gallinas al día?
11.
La Criba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los números
primos hasta cierto número natural dado. Esto se hace recorriendo una tabla de
números usando el siguiente procedimiento: (Resolver la tabla, criba de
Eratóstenes, teniendo en cuenta las indicaciones)
El numero 1 no es primo ni compuesto porque únicamente tiene un divisor, así que ese lo dejamos normal.
Empezamos
en el número 2, resaltamos el número 2 como primo, pero tachamos todos los
múltiplos de 2 (es decir, tachamos 4, 6, 8, etc.).
Se
continua con el siguiente número no tachado en la tabla, en este caso el número
3, resaltamos el número 3 como primo y tachamos todos los múltiplos de 3 (es
decir tachamos 6, 9, 12, etc.).
El
siguiente número no tachado en la tabla es el 5, resaltamos el número 5 como
primo y tachamos todos los múltiplos de 5 (es decir tachamos 10, 15, 20, etc.).
Lo
hacemos también con el 7, lo resaltamos y tachamos todos sus múltiplos.
El
siguiente numero no tachado es el 11, resaltamos entonces el numero 11 y
tachamos todos sus múltiplos
Y
así sucesivamente
12.
Qué conjunto de números quedo resaltado en la criba de Eratóstenes? Escribe el
listado de los números primos que están entre el 1 y el 100
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